时间复杂度练习题

练习题一： 

求以下算法的时间复杂度

sum=0;
for(i=1;i<=n;i++) 
    for(j=1;j<=n;j++)
        sum++;

练习题二：

求以下算法的时间复杂度

for (i=1;i<n;i++)  {
    y=y+1;
    for (j=0;j<=(2*n);j++)
        x++;
}

练习题三：

求以下算法的时间复杂度

a=0;
b=1;   
for (i=1;i<=n;i++)   {
    s=a+b;
    b=a;
    a=s;
} 

练习题四：

 for (i=1; i<=n; i+=2) ; 的时间复杂度为-----
 A: O(n)  B: O(log2n)   C: O(n2) D: O(n3)

练习题五：

求以下算法的时间复杂度

i=1;
while (i<=n)
    i=i*2;

练习题六：

求以下算法的时间复杂度

for(i=1;i<=n;i++)  {
    for(j=1;j<=i;j++)  {
        for(k=1;k<=j;k++)
            x=x+2;
    }
}

练习题七：

某算法的时间复杂度为O(n2)，表明该算法的（ ）
A.问题规模是n2 B.执行时间等于n2
C.执行时间与n2成正比 D.问题规模与n2成正比

练习题八：

设n是描述问题规模的非负整数，下面程序片段的时间复杂度是（）

x=2;
while(x<n/2)
    x=2*x;

练习题九：

求整数n (n>=0)阶乘的算法如下，其时间复杂度是（ ）

int fact(int n){
    if (n<=1) return 1;
    return n*fact(n-1);
}

练习题十

程序段

for(i=n-1;i>1;i--)
   for(j=1;j<i;j++)
       if (A[j]>A[j+1])
           A[j]与 A[j+1]对换;

其中n为正整数，则最后一行的语句频度在最坏情况下是（ ）

练习题十一

下面说法错误的是（ ）。
Ⅰ.算法原地工作的含义是指不需要任何额外的辅助空间
Ⅱ.在相同的规模n下，复杂度O(n)的算法在时间上总是优于复杂度O(2n)的算法
Ⅲ.所谓时间复杂度是指最坏情况下，估算算法执行时间的一个上界
Ⅳ.同一个算法，实现语言的级别越高，执行效率就越低

A. Ⅰ B. Ⅰ、Ⅱ C. Ⅰ、Ⅳ D. Ⅲ

练习题十二

分析以下各程序段，求出算法的时间复杂度。

// 程序段①
i=1;k=0;
while(i<n-1){
    k=k+10*i;
    i++;
}
// 程序段②
y=0;
while((y+1)*(y+1)<=n)
    y=y+1;
// 程序段③
for(i=1;i<=n;i++)
    for(j =1;j <=i;j ++)
        for(k=1;k<=j;k++)
            x++;
// 程序段④
for(i=0;i<n;i++)
    for(j=0;j<m;j++)
        a[i] [j]=0;

答案

练习题一

sum=0; # (1次)
for(i=1;i<=n;i++) 
    # (n次)
    for(j=1;j<=n;j++)
        #(n2次)
        sum++; # (n2次)

解:T(n) = 2n2+n+1 = O(n2)

练习题二

for (i=1;i<n;i++)  {
    y=y+1; # ①
    for (j=0;j<=(2*n);j++)
        x++; # ②
}

解:语句1的频度是n-1
语句2的频度是(n-1)(2n+1)=2n2-n-1
f(n)=2n2-n-1+(n-1)=2n2-2
该程序的时间复杂度T(n) = O(n2)

练习题三

a=0;
b=1;   # ①
for (i=1;i<=n;i++)   {
    # ②
    s=a+b; # ③
    b=a; # ④
    a=s; # ⑤
} 

解:语句1的频度:1,
语句2的频度:n,
语句3的频度:n-1,
语句4的频度:n-1,
语句5的频度:n-1,
T(n) = 1+n+3(n-1) = 4n-2 = O(n)

练习题四

for(i=1; i=n; i+=2); 的时间复杂度为 A. O(n)

练习题五

i=1; # ①
while (i<=n)
    # ②
    i=i*2;

解:语句1的频度是1
设语句2的频度是f(n),
则:2^f(n)=n; f(n)=log2n
取最大值f(n)=log2n, T(n)=O(log2n)

练习题六

for(i=1;i<=n;i++)  {
    for(j=1;j<=i;j++)  {
        for(k=1;k<=j;k++)
            x=x+2;
    }
}

解：循环共进行了1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+n) = n(n+1)(n+2)/6 次，
所以，时间复杂度为T(n) = O(n^3)
这个题复杂一点，关于上面等式的计算，参考 求解Sn=1+1+2+1+2+3+1+2+3+4+.+n的和-作业帮

练习题七：

某算法的时间复杂度为O(n2)，表明该算法的（ ）
A.问题规模是n2 B.执行时间等于n2
C.执行时间与n2成正比 D.问题规模与n2成正比
此题选C，时间复杂度为O(n2)，说明算法的执行时间T(n)<=c * n2(c为比例常数)，即T(n)=O(n2)，时间复杂度T(n)是问题规模n的函数，其问题规模仍然是n而不是n2。

练习题八：

设n是描述问题规模的非负整数，下面程序片段的时间复杂度是（）

x=2;
while(x<n/2)
  x=2*x;

T(n)=O(log2n)，在程序中，执行频率最高的语句为“x=2*x”。设该语句共执行了 t次，则2t+1=n/2，故t=log2(n/2)-1=log2n-2，得 T(n)=O(log2n)。

练习题九：

求整数n (n>=0)阶乘的算法如下，其时间复杂度是（ ）

int fact(int n){
    if (n<=1) return 1;
    return n*fact(n-1);
}

T(n)=O(n)，本题是求阶乘n!的递归代码，即n(n-1)...*1共执行n次乘法操作，故T(n)=O(n)。

练习题十：

程序段

for(i=n-1;i>1;i--)
   for(j=1;j<i;j++)
       if (A[j]>A[j+1])
           A[j]与 A[j+1]对换;

其中n为正整数，则最后一行的语句频度在最坏情况下是（ ）
T(n)=O(n2)，当所有相邻元素都为逆序时，则最后一行的语句每次都会执行。此时

所以在最坏情况下的该语句频度是O(n2)。

练习题十一

下面说法错误的是（ ）。
Ⅰ.算法原地工作的含义是指不需要任何额外的辅助空间
Ⅱ.在相同的规模n下，复杂度O(n)的算法在时间上总是优于复杂度O(2n)的算法
Ⅲ.所谓时间复杂度是指最坏情况下，估算算法执行时间的一个上界
Ⅳ.同一个算法，实现语言的级别越高，执行效率就越低

A. Ⅰ B. Ⅰ、Ⅱ C. Ⅰ、Ⅳ D. Ⅲ
此题选A
Ⅰ，算法原地工作是指算法所需的辅助空间是常量。Ⅱ，题中是指算法的时间复杂度，不要想当然认为是程序（该算法的实现）的具体执行时间，而赋予n—个特殊的值。时间复杂度为O(n)的算法，必然总是优于时间复杂度为O(2n)的算法。Ⅲ，时间复杂度总是考虑在最坏情况下的时间复杂度，以保证算法的运行时间不会比它更长。Ⅳ为严蔚敏教材的原话。

练习题十二

分析以下各程序段，求出算法的时间复杂度。

// 程序段①
i=1;k=0;
while(i<n-1){
    k=k+10*i;
    i++;
}
// 程序段②
y=0;
while((y+1)*(y+1)<=n)
    y=y+1;
// 程序段③
for(i=l;i<=n;i++)
    for(j =1;j <=i;j ++)
        for(k=l;k<=j;k++)
            x++;
// 程序段④
for(i=0;i<n;i++)
    for(j=0;j<m;j++)
        a[i] [j]=0;

①基本语句是k=k+10i，共执行了n-2次，所以T(n) = O(n)。
②设循环体共执行T(n)次，每循环一次，循环变量y加1,最终T(n)=y。故(T(n))2<=n，解得 T(n) = O(n1/2)。
③参考练习题六，T(n) = O(n3)
④ai=0是基本语句，内循环执行m次，外循环执行n次，共执行了mn次，所以 T(m, n) = O(mn)